10603. В прямоугольном треугольнике ABC
из вершины C
прямого угла проведена высота CD
. Биссектриса угла BAC
пересекается с биссектрисой угла BCD
в точке M
, биссектриса угла ABC
пересекается с биссектрисой угла ACD
в точке N
. Докажите, что MN\parallel AB
.
Решение. Пусть биссектрисы углов BCD
и ACD
пересекают гипотенузу AB
в точках K
и L
соответственно. Обозначим
\angle BCK=\angle BAC=\alpha,~\angle ACD=\angle ABC=\beta.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle AKC=\angle KCB+\angle CBK=\frac{\alpha}{2}+\beta.
В то же время,
\angle ACK=\angle ACD+\angle DCK=\beta+\frac{\alpha}{2}=\angle AHC,
поэтому треугольник CAK
равнобедренный. Значит, его биссектриса AM
является медианой. Следовательно, M
— середина отрезка CK
. Аналогично, N
— середина отрезка CL
. Средняя линия MN
треугольника KCL
параллельна его основанию KL
. Следовательно, MN\parallel AB
.