10605. Вершина C
параллелограмма ABCD
соединена с серединой L
стороны AB
. На отрезке LC
отмечены точки M
и N
, причём точка M
расположена между L
и N
, а прямые BM
и DN
параллельны. Найдите отношение площадей многоугольника ABMND
и треугольника BMC
.
Ответ. 3:1
.
Решение. Пусть прямая, проведённая через вершину A
параллельно BM
, пересекается с прямой LC
в точке K
, а прямая, проведённая через вершину A
параллельно LC
пересекается с прямой DN
в точке P
. Тогда треугольники ALK
и BLM
равны, а AKNP
— параллелограмм. Кроме того, равны треугольники BCM
и DPA
(по стороне и двум прилежащим к ней углам). Значит,
DP=BM=AK=PN.
Обозначим, S_{\triangle DPA}=S_{\triangle BMC}=s
. Отрезок AP
— медиана треугольника ADN
, поэтому S_{\triangle APN}=S_{\triangle ADP}=s
. Следовательно,
S_{ABMND}=S_{\triangle ADN}+S_{\triangle ALN}+S_{\triangle BLM}=
=S_{\triangle ADN}+S_{\triangle ALN}+S_{\triangle ALK}=S_{\triangle ADN}+S_{\triangle AKN}=
=2S_{\triangle DPA}+S_{\triangle ANP}=2s+s=3s.
Источник: Саратовская олимпиада. — 1979/1980, III тур, 8 класс
Источник: Андреева А. Н., Барабанов А. И., Чернявский И. Я. Саратовские математические олимпиады. 1950/51—1994/95. — М.: МЦНМО, 2013. — № 704, с. 73