10608. Стороны двух углов пересекаются в точках A
, B
, C
, D
. Известно, что биссектрисы этих углов перпендикулярны. Докажите, что точки A
, B
, C
, D
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть точки A
и D
лежат на одной стороне данного угла с вершиной S
, равного 2\alpha
, точки B
и C
— на другой, причём точка A
лежит между S
и D
, точка B
— между S
и C
, биссектриса угла с вершиной S
пересекает отрезки AB
и CD
в точках M
и N
соответственно, а P
— вершина второго данного угла.
Биссектриса угла с вершиной P
перпендикулярна MN
, значит, треугольник MPN
равнобедренный. Обозначим
\angle PNM=\angle PMN=\angle AMS=\varphi.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BAD=\angle MAD=\alpha+\varphi,~
а из треугольника CSN
получаем, что
\angle BCD=\angle SCN=180^{\circ}-\alpha-\varphi.
значит,
\angle BAD+\angle BCD=180^{\circ}.
Следовательно, четырёхугольник ABCD
вписанный, т. е. точки A
, B
, C
, D
лежат на одной окружности.