10611. На сторонах AB
, BC
и AC
треугольника ABC
отмечены соответственно точки P
, Q
и R
, причём AP:PB=BQ:QC=CR:RA=2:1
. Треугольник стирают, оставив точки P
, Q
и R
. Восстановите треугольник с помощью циркуля и линейки.
Решение. Пусть PP_{1}
, QQ_{1}
и RR_{1}
— медианы треугольника PQR
. Через точку Q
проведём прямую k
, параллельную PP_{1}
, через точку R
— прямую l
, параллельную QQ_{1}
, через точку P
— прямую m
, параллельную RR_{1}
. Пусть прямые k
и l
пересекаются в точке C
, прямые k
и m
— в точке B
, прямые l
и m
— в точке A
. Докажем, что ABC
— искомый треугольник.
Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника PQR
, P_{2}
— точка пересечения прямых PP_{1}
и AC
, а Q_{2}
— точка пересечения прямых QQ_{1}
и AB
. Обозначим QM=x
. Четырёхугольник CQMP_{2}
параллелограмм, поэтому CP_{2}=QM=x
. Из равенства треугольников MQ_{1}R
и Q_{2}Q_{1}P
получаем, что Q_{1}Q_{2}=Q_{1}M=\frac{x}{2}
, а так как Q_{1}Q_{2}
— средняя линия треугольника APR
, то AR=2Q_{1}Q_{2}=x
. Значит, CR:RA=2x:x=2:1
. Аналогично докажем, что AP:PB=2:1
и BQ:QC=2:1
.
Задача имеет единственное решение.