10613. На сторонах AB
и BC
выпуклого четырёхугольника ABCD
взяты такие точки E
и F
соответственно, что отрезки DE
и DF
делят диагональ AC
на три равные части. Известно, что площади треугольников ADE
и CDF
в четыре раза меньше площади четырёхугольника ABCD
. Докажите, что ABCD
— параллелограмм.
Решение. Пусть прямые DE
и DF
пересекают диагональ AC
в точках P
и Q
соответственно. У треугольников ADP
и CDQ
с равными сторонами AP
и CQ
одна и та же высота, опущенная из общей вершины D
, значит, эти треугольники равновелики. Тогда равновелики и треугольники AEP
и CFQ
с равными сторонами AP
и CQ
. Следовательно, равны их высоты, опущенные из вершин E
и F
, т. е. эти точки равноудалены от прямой AC
. Значит, F\parallel AC
, поэтому
S_{\triangle BED}:S_{\triangle AED}=AE:EB=CF:FB=S_{\triangle CFD}:S_{\triangle BFD}.
Обозначим эти равные отношения через k
. Тогда
S_{\triangle BED}=kS_{\triangle AED},~S_{\triangle CFD}=kS_{\triangle BFD},
S_{ABCD}=S_{\triangle AED}+S_{\triangle BED}+S_{\triangle CFD}+S_{\triangle BFD}=S_{\triangle AED}+kS_{\triangle AED}+kS_{\triangle BFD}+S_{\triangle BFD}=
=(1+k)(S_{\triangle AED}+S_{\triangle BFD})=(1+k)\cdot\frac{1}{2}S_{ABCD},
откуда k=1
. Следовательно, точки E
и F
— середины сторон AB
и BC
.
Отрезки EP
и FQ
— средние линии треугольников ABQ
и BCP
, поэтому EP\parallel BQ
и FQ\parallel BP
, т. е. DP\parallel BQ
и DQ\parallel BP
. Значит, четырёхугольник BFDP
— параллелограмм. Его диагонали BD
и PQ
точкой O
пересечения делятся пополам, а так как
AO=AP+PO=CQ+QO=CO,
то диагонали BD
и AC
четырёхугольника ABCD
также точкой O
пересечения делятся пополам. Следовательно, ABCD
— параллелограмм.
Источник: Саратовская олимпиада. — 1989/1990, III тур, 11 класс
Источник: Андреева А. Н., Барабанов А. И., Чернявский И. Я. Саратовские математические олимпиады. 1950/51—1994/95. — М.: МЦНМО, 2013. — № 1044, с. 107