10617. На продолжении диагонали AC
трапеции ABCD
за точку C
взята произвольная точка P
. Прямые, проходящие через точку P
и середины оснований трапеции, пересекают боковые стороны AB
и CD
соответственно в точках M
и N
. Докажите, что отрезок MN
параллелен основаниям трапеции.
Решение. Пусть K
и L
— середины оснований соответственно BC
и AD
, F
— точка пересечения прямых BC
и PL
, а прямая, проведённая через точку C
параллельно AB
, пересекает прямую PM
в точке E
.
Треугольники BKM
и CKD
равны по стороне (BK=CK
) и двум прилежащим к ней углам, поэтому BM=CF
. Треугольники APM
и CPE
подобны, поэтому AM:MB=AM:CE=AP:CP
.
Треугольник DNL
подобен треугольнику CNF
, а треугольник APL
— треугольнику CPF
, поэтому
DN:NC=DL:CF=AL:CF=AP:CP.
Значит, AM:MB=DN:NC
. Следовательно, MN\parallel BC\parallel AD
.
Источник: Саратовская олимпиада. — 1992/1993, III тур, 9 класс
Источник: Андреева А. Н., Барабанов А. И., Чернявский И. Я. Саратовские математические олимпиады. 1950/51—1994/95. — М.: МЦНМО, 2013. — № 1142, с. 119
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 96, с. 147