10618. Пусть AP
и AQ
— изогонали угла с вершиной A
(т. е. прямые, симметричные относительно биссектрисы этого угла), а B
и C
— проекции точки P
на стороны угла. Докажите, что AQ\perp BC
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть D
— точка пересечения прямых AQ
и BC
. Из точек B
и C
отрезок AP
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AP
. Вписанные в эту окружность углы ACB
и APB
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Кроме того, из условия задачи следует, что равны углы CAQ
и BAP
. Значит,
\angle ADC=180^{\circ}-(\angle ACD+\angle CAD)=180^{\circ}-(\angle ACB-\angle CAQ)=
=180^{\circ}-(\angle APB-\angle BAP)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.
Примечание. См. также статью Д.Прокопенко «Изогональное сопряжение и педальные треугольники», Квант, 2017, N9, с.38-44.