10619. На хорде AB
окружности с центром O
отметили точку C
. Описанная окружность треугольника AOC
пересекает данную окружность в точке D
, отличной от A
. Докажите, что BC=CD
.
Решение. Угол ABD
вписан в первую окружность, а AOD
— центральный угол этой окружности. Обозначим \angle ABD=\alpha
. Тогда \angle AOD=2\alpha
.
Вписанные во вторую окружность углы ACD
и AOD
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle ACD=\angle AOD=2\alpha,
а так как ACD
— внешний угол треугольника BCD
, то
\angle BDC=\angle ACD-\angle CBD=2\alpha-\alpha=\alpha.
Треугольник BCD
равнобедренный, следовательно, BC=CD
.