10622. На стороне BC
квадрата ABCD
взята произвольная точка P
. Через точки A
, B
и P
проведена окружность, пересекающая диагональ BD
в точке Q
. Через точки C
, P
и Q
проведена окружность, которая пересекается с BD
ещё раз в точке R
. Докажите, что точки A
, R
и P
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть прямые BD
и AP
пересекаются в точке K
. Достаточно доказать, что точка R
совпадает с Q
, т. е. точки K
, P
, C
и Q
лежат на одной окружности.
Треугольники QAK
и QCK
равны по трём сторонам, так как сторона KQ
общая, а AK=CK
и AQ=CQ
, поскольку точки A
и C
симметричны относительно прямой BD
. Кроме того, \angle APQ=\angle ABQ=45^{\circ}
, так как это вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Треугольник APQ
прямоугольный (AP
— диаметр окружности) и равнобедренный (BQ
— биссектриса вписанного угла ABP
). Значит,
\angle QCK=\angle QAK=\angle QAP=\angle APQ=\angle KPQ.
Из точек C
и P
, лежащих по одну сторону от прямой QK
, отрезок QK
виден под одним и тем же углом, следовательно, точки K
, P
, C
и Q
лежат на одной окружности. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Саратовская олимпиада. — 1994/1995, II тур, 10 класс
Источник: Андреева А. Н., Барабанов А. И., Чернявский И. Я. Саратовские математические олимпиады. 1950/51—1994/95. — М.: МЦНМО, 2013. — № 1216, с. 127