10623. На сторонах AC
и BC
треугольника ABC
отмечены точки E
и D
соответственно. Биссектрисы углов CAD
и CBE
пересекаются в точке F
. Докажите, что
\angle AEB+\angle ADB=2\angle AFB.
Решение. Обозначим \angle CAD=\alpha
, \angle CBE=\beta
, \angle ACB=\gamma
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle AEB=\gamma+2\beta,~\angle ADB=\gamma+2\alpha,
поэтому
\angle AEB+\angle ADB=2\gamma+2\alpha+2\beta=2(\gamma+\alpha+\beta),
а так как
\angle AFB=180^{\circ}-\angle FAB-\angle FBA=180^{\circ}-(\angle BAC-\alpha)+(\angle ABC-\beta)=
=(180^{\circ}-\angle BAC+\angle ABC)+\alpha+\beta=\gamma+\alpha+\beta,
то
\angle AEB+\angle ADB=2\angle AFB.
Примечание. Утверждение задачи верно, если: а) точка E
совпадает с C
; б) точки E
и D
лежат на прямых AC
и BC
вне отрезков AC
и BC
.