10629. Дан квадрат ABCD
с центром E
. Прямая, проходящая через вершину B
перпендикулярно биссектрисе угла ACD
, пересекает диагональ AC
и сторону CD
в точках P
и Q
соответственно. Докажите, что DQ=2PE
.
Решение. Через точку E
параллельно BQ
проведём прямую, пересекающую сторону CD
в точке R
. Тогда ER
— средняя линия треугольника BDQ
, поэтому QR=\frac{1}{2}DQ
.
Пусть биссектриса угла ACD
пересекает отрезок ER
в точке F
. Тогда EF
— высота и биссектриса треугольника ECR
, значит, этот треугольник равнобедренный. Его углы при основании ER
равны. Трапеция EPQR
равнобокая (см. задачу 1913), следовательно,
PE=QR=\frac{1}{2}DQ.