10633. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки, взятой на стороне прямоугольника, до его диагоналей для данного прямоугольника постоянна.
Решение. Пусть P
— произвольная точка на стороне AB
прямоугольника ABCD
, F
и G
— проекции точки P
на диагонали BD
и AC
соответственно.
Опустим перпендикуляр PH
из точки P
на высоту AQ
прямоугольного треугольника ABD
. Тогда PH\parallel BD
, поэтому
\angle APH=\angle ABD=\angle BAC=\angle PAG.
Значит, прямоугольные треугольники APH
и PAG
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому PG=AH
. Следовательно,
PF+PG=PF+AH=HQ+AH=AQ.
Отсюда следует утверждение задачи.
Примечание. Если точка P
лежит на продолжении стороны AB
, то постоянным является модуль разности расстояний от неё до прямых, содержащих диагонали прямоугольника.