10634. На одной стороне угла с вершиной A
последовательно расположены точки H
, F
, D
и B
, а на второй — последовательно точки G
, E
и C
. При этом FG\parallel DE\parallel BC
, GH\parallel FE\parallel DC
. Найдите DB
, если:
а) AF=4
и FD=6
;
б) AF=a
и FD=b
;
в) AH=2
и HF=4
;
г) AH=c
и HF=d
.
Ответ. а) 15; б) \frac{b(a+b)}{a}
; в) 36; г) \frac{d(c+d)^{2}}{c^{2}}
.
Решение. а) По теореме о пропорциональных отрезках
\frac{DB}{AD}=\frac{EC}{AE}=\frac{FD}{AF}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2},
откуда
DB=\frac{3}{2}AD=\frac{3}{2}(4+6)=15.
б) По теореме о пропорциональных отрезках
\frac{DB}{AD}=\frac{EC}{AE}=\frac{FD}{AF}=\frac{b}{a},
откуда
DB=\frac{a}{b}AD=\frac{b}{a}(a+b).
в) По теореме о пропорциональных отрезках
\frac{DF}{FA}=\frac{EG}{GA}=\frac{FH}{HA}=\frac{4}{2}=2,
откуда
DF=2FA=2(2+4)=12.
Аналогично,
\frac{DB}{AD}=\frac{EC}{AE}=\frac{FD}{AF}=\frac{12}{6}=2,
откуда
DB=2AD=2(12+6)=36.
г) По теореме о пропорциональных отрезках
\frac{DF}{FA}=\frac{EG}{GA}=\frac{FH}{HA}=\frac{d}{c},
откуда
DF=\frac{d}{c}FA=\frac{d}{c}(c+d).
Аналогично,
\frac{DB}{AD}=\frac{EC}{AE}=\frac{FD}{AF}=\frac{\frac{d}{c}(c+d)}{c+d}=\frac{d}{c},
откуда
DB=\frac{d}{c}AD=\frac{d}{c}\left(c+d+\frac{d}{c}(c+d)\right)=\frac{d(c+d)^{2}}{c^{2}}.
Источник: Posamentier A. S., Salkind Ch. T. Challenging Problems in Geometry. — N.Y.: Dover Publication, 2017. — № 2.1, с. 7