10638. Точки E
и F
лежат на диагонали AC
параллелограмма ABCD
, причём AE=CF
. Лучи BE
и BF
пересекают стороны AD
и CD
в точках H
и G
соответственно. Докажите, что HG\parallel AC
.
Решение. Заметим, что из равенства AE=CF
следует, что CE=AF
.
Треугольник AEH
подобен треугольнику CEB
, а треугольник CFG
— треугольнику AEB
, поэтому
\frac{AH}{AD}=\frac{AH}{BC}=\frac{AE}{CE},~\frac{CG}{CD}=\frac{CG}{AB}=\frac{CF}{AF}=\frac{AE}{CE}.
Из равенства \frac{AH}{AD}=\frac{CG}{CD}
следует параллельность прямых HG
и AC
.
Примечание. Утверждение задачи верно и в случае, когда точки E
и F
лежат на прямой AC
вне отрезка AC
.
Источник: Posamentier A. S., Salkind Ch. T. Challenging Problems in Geometry. — N.Y.: Dover Publication, 2017. — № 2.6, с. 8