1064. В треугольнике ABC
отрезок, соединяющий основания высот AA_{1}
и BB_{1}
, виден из середины стороны AB
под углом \alpha
. Найдите угол ACB
.
Ответ. 90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
или 90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
Указание. Точки A_{1}
и B_{1}
лежат на окружности с диаметром AB
.
Решение. Из точек A_{1}
и B_{1}
отрезок AB
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AB
. Пусть O
— середина стороны AB
, т. е. центр окружности. Тогда A_{1}OB_{1}
— центральный угол, а A_{1}AB_{1}
— вписанный. По условию задачи \angle A_{1}OB_{1}=\alpha
.
Если \angle C\lt90^{\circ}
(рис. 1), то
\angle ACB=90^{\circ}-\angle CAA_{1}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A_{1}OB_{1}=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
Если \angle ACB\gt90^{\circ}
(рис. 2), то по теореме о внешнем угле треугольника
\angle ACB=\angle AA_{1}C+\angle A_{1}AB_{1}=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A_{1}OB_{1}=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — с. 15