10640. Точка E
лежит на стороне BC
параллелограмма ABCD
, а прямая AE
пересекает диагональ BD
и прямую CD
в точках G
и F
соответственно. Докажите, что отрезок AG
есть половина среднего гармонического отрезков AF
и AE
, т. е. AF=\frac{AF\cdot AE}{AF+AE}
.
Решение. Обозначим AF=a
, AE=b
, AC=c
. Треугольник BEA
подобен треугольнику CEF
, поэтому
\frac{BE}{EC}=\frac{AE}{EF}=\frac{b}{a-b}.
Треугольник BGE
подобен треугольнику DGA
, поэтому
\frac{BE}{BC}=\frac{BE}{AD}=\frac{EG}{AG}=\frac{b-c}{c}.
Тогда по свойству пропорций
\frac{BE}{EC}=\frac{BE}{BC-BE}=\frac{b-c}{c-(b-c)}=\frac{b-c}{2c-b}.
Значит,
\frac{b}{a-b}=\frac{b-c}{2c-b}~\Rightarrow~bc=ab-ac~\Rightarrow~c=\frac{ab}{a+b}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Утверждение задачи верно и для случая, когда точку E
лежит на продолжении стороны BC
за точку B
.