10644. Прямая, параллельная стороне BC
треугольника ABC
, пересекает стороны AB
и AC
в точках P
и Q
соответственно. Окружность, проходящая через точку P
и касающаяся прямой AC
в точке Q
, вторично пересекает сторону AB
в точке R
. Докажите, что точки B
, C
, Q
и R
лежат на одной окружности.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle PRQ=\angle AQP=\angle ACB,
поэтому
\angle BRQ=180^{\circ}-\angle PRQ=180^{\circ}-\angle ACB=180^{\circ}-\angle QCB.
Значит, четырёхугольник BCQR
вписанный, т. е. точки B
, C
, Q
и R
лежат на одной окружности.