10648. Дана трапеция ABCD
с основаниями CD=9
и AB=15
. Точки F
и G
— середины боковых сторон AD
и BC
соответственно. Высота трапеции равна 4. Прямые AD
и BC
пересекаются в точке E
. Найдите площадь треугольника FGE
.
Ответ. 48.
Решение. По теореме о средней линии трапеции FG=\frac{9+15}{2}=12
, а так как высота трапеции CDFG
равна половине высоты исходной трапеции, то
S_{CDFG}=\frac{1}{2}(CD+FG)\cdot2=21.
Треугольник DCE
подобен треугольнику FGE
с коэффициентом
\frac{CD}{FG}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4},
значит,
\frac{S_{\triangle DCE}}{S_{\triangle FGE}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}~\Rightarrow~\frac{S_{\triangle FGE}}{S_{CDFG}}=\frac{16}{7}.
Следовательно,
S_{\triangle FGE}=\frac{16}{7}S_{CDFG}=\frac{16}{7}\cdot21=48.
Источник: Posamentier A. S., Salkind Ch. T. Challenging Problems in Geometry. — N.Y.: Dover Publication, 2017. — № 5.2, с. 24