10649. Расстояние от точки A
до прямой BC
равно 3. Прямые l
и l'
, параллельные BC
, разбивают треугольник ABC
на три равновеликие части. Найдите расстояние между прямыми l
и l'
Ответ. \sqrt{6}-\sqrt{3}
.
Решение. Пусть высота AD
треугольника ABC
пересекает прямые l
и l'
в точках E
и F
соответственно. Обозначим AE=h
. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, значит, \frac{AE}{AF}=\frac{1}{\sqrt{2}}
, поэтому AF=AE\sqrt{2}=h\sqrt{2}
.
Аналогично получаем, что \frac{AE}{AD}=\frac{1}{\sqrt{3}}
. Тогда
AD=AE\sqrt{3}=h\sqrt{3}=3,
откуда h=\sqrt{3}
. Следовательно,
EF=AF-AE=h\sqrt{2}-h=h(\sqrt{2}-1)=\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)=\sqrt{6}-\sqrt{3}.