10650. Через середину P
большей боковой стороны AD
прямоугольной трапеции ABCD
проведён к этой стороне перпендикуляр, пересекающий меньшую боковую сторону BC
в точке Q
. Известно, что AB=9
, BC=8
и CD=7
. Найдите площадь четырёхугольника APQB
.
Ответ. 26.
Решение. Первый способ. Точка Q
равноудалена от концов отрезка AD
, так как она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Значит, QA=QD
. Обозначим BQ=x
. Из прямоугольных треугольников ABQ
и DCQ
получаем, что
AB^{2}+BQ^{2}=CD^{2}+CQ^{2},~\mbox{или}~81+x^{2}=49+(8-x)^{2},
откуда x=2
. Следовательно,
S_{\triangle ABQ}=\frac{1}{2}AB\cdot BQ=\frac{1}{2}\cdot9\cdot2=9.
Пусть DH
— высота трапеции. Тогда
DH=CB=8,~AH=AB-BH=AB-CD=9-7=2.
Из прямоугольных треугольников ABQ
, ADH
и APQ
находим, что
AQ=\sqrt{AB^{2}+BQ^{2}}=\sqrt{81+4}=\sqrt{85},
AD=\sqrt{AH^{2}+DH^{2}}=\sqrt{4+64}=2\sqrt{17},
PQ=\sqrt{AQ^{2}-AP^{2}}=\sqrt{85-17}=2\sqrt{17}.
Значит,
S_{\triangle APQ}=\frac{1}{2}PQ\cdot AP=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{17}\cdot\sqrt{17}=17.
Следовательно,
S_{APQB}=S_{\triangle ABQ}+S_{\triangle APQ}=9+17=26.
Второй способ. Пусть уже известно, что AP=\sqrt{17}
(см. первый способ).
Пусть прямая, проходящая через вершину A
параллельно PQ
, пересекает прямую BC
в точке M
, а T
— основание перпендикуляра, опущенного из точки P
на AB
. Тогда PT
— средняя линия треугольника AHD
, поэтому
PT=\frac{1}{2}DH=4,~AT=\frac{1}{2}AH=1.
Прямоугольные треугольники ABM
и PTA
подобны с коэффициентом \frac{AB}{PT}=\frac{9}{4}
, поэтому
AM=\frac{9}{4}AP=\frac{9}{4}\sqrt{17},~S_{\triangle ABM}=\left(\frac{9}{4}\right)^{2}S_{\triangle PTA}=\frac{81}{16}\cdot2=\frac{81}{8}.
По формуле для площади трапеции
S_{APQM}=\frac{1}{2}(AM+PQ)\cdot AP=\frac{1}{2}\left(\frac{9}{4}\sqrt{17}+2\sqrt{17}\right)\cdot\sqrt{17}=\frac{289}{8}.
Следовательно,
S_{APQB}=S_{APQM}-S_{\triangle PTA}=\frac{289}{8}-\frac{81}{8}=26.
Источник: Posamentier A. S., Salkind Ch. T. Challenging Problems in Geometry. — N.Y.: Dover Publication, 2017. — № 5.6, с. 25