10651. Дан треугольник со сторонами 13, 14, 15. Прямая, перпендикулярная стороне, равной 14, разбивает треугольник на две равновеликие части. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри треугольника.
Ответ. 4\sqrt{7}
.
Решение. Пусть в треугольнике ABC
известно, что AB=13
, BC=14
, AC=15
, указанная в условии прямая пересекает прямые BC
и AC
в точках E
и F
соответственно, а AD
— высота треугольника ABC
. Из неравенства AC\gt AB
следует, что CD\gt BD
. Значит, точка E
лежит между B
и C
, а точка F
— между A
и C
.
По формуле Герона находим, что S_{\triangle ABC}=84
. Тогда
AD=\frac{2S_{\triangle ABC}}{BC}=\frac{2\cdot84}{14}=12,
поэтому
CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9,
S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}CD\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot9\cdot12=54.
Треугольник FEC
подобен треугольнику ADC
с коэффициентом
k=\sqrt{\frac{S_{\triangle FEC}}{S_{\triangle ADC}}}=\sqrt{\frac{\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ADC}}}=\sqrt{\frac{42}{54}}=\frac{\sqrt{7}}{3}.
Следовательно,
FE=kAD=\frac{\sqrt{7}}{3}\cdot12=4\sqrt{7}.