10652. Точка C
лежит на отрезке AB
. На отрезках AB
, AC
и BC
как на диаметрах построены полукруги. Общая касательная меньших полукругов, проведённая через точку C
, пересекает полуокружность большего полукруга в точке D
. Найдите отношение площади полукруга с радиусом CD
к площади фигуры, граница которой состоит из полуокружностей, ограничивающих три исходных полукруга.
Ответ. 2.
Решение. Отрезок CD
— высота прямоугольного треугольника ABD
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому CD^{2}=AC\cdot BC
.
Площадь полукруга с радиусом CD
равна
\frac{1}{2}\pi CD^{2}=\frac{1}{2}\pi CD^{2}=\frac{1}{2}\pi AC\cdot BC.
Площадь фигуры, о которой говорится в условии задачи, равна
\frac{1}{2}\pi\left(\frac{AB}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2}\pi\left(\frac{AC}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2}\pi\left(\frac{BC}{2}\right)^{2}=\frac{1}{8}\pi(AB^{2}-AC^{2}-BC^{2})=
=\frac{1}{8}\pi((AC+BC)^{2}-AC^{2}-BC^{2})=\frac{1}{8}\pi\cdot2AC\cdot BC=\frac{1}{4}\pi\cdot AC\cdot BC.
Следовательно, искомое отношение равно
\frac{\frac{1}{2}\pi AC\cdot BC}{\frac{1}{4}\pi AC\cdot BC}=2.