10658. Вершины треугольника ABC
окрашены в красный цвет. Точки A'
, B'
и C'
, окрашенные в зелёный цвет, лежат на сторонах соответственно BC
, CA
и AB
треугольника ABC
, не совпадают с вершинами треугольника и с серединами его сторон. Дано, что
\frac{A'B}{BC}=\frac{B'C}{CA}=\frac{C'A}{AB},
и один из углов треугольника ABC
равен какому-то углу треугольника A'B'C'
. Докажите, что треугольник с зелёными вершинами подобен треугольнику с красными вершинами, а если при этом подобии точки A'
, B'
и C'
соответствуют вершинам A
, B
и C
, то оба треугольника равносторонние.
Решение. Обозначим через \alpha
, \beta
и \gamma
углы треугольника ABC
при вершинах A
, B
и C
соответственно. Пусть A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— точки, симметричные точкам A'
, B'
и C'
относительно середин сторон BC
, CA
и AB
соответственно. Тогда
\frac{A_{1}C}{BC}=\frac{A'B}{BC}=\frac{B'C}{CA},
поэтому B'A_{1}\parallel AB
. Аналогично, A_{1}C'\parallel CA
. Значит, AC'A_{1}B'
— параллелограмм.
Пусть B'C'A'=\beta
. Тогда
\angle B'A_{1}A'+\angle B'A'C'=(180^{\circ}-\beta)+\beta=180^{\circ},
поэтому четырёхугольник B'A_{1}A'C'
вписанный. Значит,
\angle B'A'C'=\angle B'A_{1}C'=\alpha.
Следовательно, треугольники A'B'C'
и ABC
подобны по двум углам.
Пусть \angle B'A'C'=\alpha
. Тогда
\angle B'A_{1}C'=\angle B'AC'=\alpha=\angle B'A'C,
поэтому четырёхугольник B'A_{1}A'C'
вписанный. Значит,
\angle B'C'A'=180^{\circ}-\angle B'A_{1}A'=\beta.
Следовательно, треугольники A'B'C'
и ABC
подобны по двум углам.
Каждый из оставшихся случаев аналогичен одному из разобранных. Первая часть утверждения доказана.
Пусть теперь подобны треугольники A'B'C'
и ABC
. Из приведённого в первой части рассуждения следует что все вершины шестиугольника A'A_{1}B'B_{1}C'C_{1}
лежат на одной окружности — описанной окружности треугольника A'B'C'
. Значит,
\beta=\angle A'B'C'=\angle A'A_{1}C'=\angle A_{1}CB'=\gamma.
Аналогично, \alpha=\beta
. Следовательно, треугольники ABC
и A'B'C'
равносторонние. Вторая часть утверждения доказана.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1988, № 4, задача 1208 (1987, с. 15), с. 111