10659. Точки A
и P
лежат вне окружности с центром O
, а прямая, проходящая через точку P
, касается окружности в точке T
, при этом AP=PT
. На окружности взята произвольная точка C
. Отрезки CP
и CA
пересекают окружность в точках B
и D
соответственно. Отрезок AB
пересекает окружность в точке E
. Докажите, что DE\parallel AP
.
Решение. Четырёхугольник BCDE
вписанный, поэтому
\angle AED=180^{\circ}-\angle BED=\angle DCB=\angle ACP.
Осталось доказать, что \angle AED=\angle PAE
, для чего достаточно установить подобие треугольников BAP
и ACP
.
По теореме о касательной и секущей PT^{2}=PB\cdot PC
, а так как PT=AP
, то AP^{2}=PB\cdot PC
, или \frac{AP}{PB}=\frac{PC}{AP}
, значит, треугольники APB
и CPA
с общим углом при вершине P
подобны по двум сторонам и углу между ними. Тогда
\angle PAE=\angle PAB=\angle PCA=\angle AED.
Следовательно, DE\parallel AP
.