1066. От квадрата отрезан прямоугольный треугольник, сумма катетов которого равна стороне квадрата. Докажите, что сумма трёх углов, под которыми видна из трёх оставшихся вершин его гипотенуза, равна 90^{\circ}
.
Указание. Рассмотрите вспомогательные равные треугольники.
Решение. Пусть точки M
и N
лежат соответственно на сторонах AB
и AD
квадрата ABCD
, причём AN+AM=AB
. Тогда
BM=AB-AM=AN,~DN=AD-AN=AB-AN=AM.
Поэтому треугольник BAN
равен треугольнику CBM
, а треугольник DAM
— треугольнику CDN
(по двум катетам). Следовательно,
\angle MBN+\angle MCN+\angle MDN=\angle BCM+\angle MCN+\angle NCD=\angle BCD=90^{\circ}.