10662. На луче с началом в точке A
последовательно расположены такие точки K
, L
и B
, что AL^{2}=AK\cdot AB
. Точка P
лежит вне прямой AB
, причём AP=AL
. Докажите, что PL
— биссектриса угла KPB
.
Решение. Обозначим
\angle ABP=\beta,~\angle ALP=\angle APL=\varphi.
Из условия AL^{2}=AK\cdot AB
получаем, что \frac{AK}{AL}=\frac{AL}{AB}
, а так как AL=AP
, то \frac{AK}{AP}=\frac{AP}{AB}
. Значит, треугольники APK
и ABP
с общим углом при вершине A
подобны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
\angle APK=\angle ABP=\beta.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BPL=\angle ALP-\angle ABP=\varphi-\beta,
а так как
\angle KPL=\angle APL-\angle APK=\varphi-\beta,
то \angle KPL=\angle BPL
, т. е. PL
— биссектриса угла KPB
.
Источник: Posamentier A. S., Salkind Ch. T. Challenging Problems in Geometry. — N.Y.: Dover Publication, 2017. — № 2.11, с. 9