10664. Точка F
— середина стороны AB
параллелограмма ABCD
. Отрезок CF
пересекает диагональ BD
в точке E
. Известно, что площадь треугольника BEC
равна 100. Найдите площадь четырёхугольника AFED
.
Ответ. 250.
Решение. Из подобия треугольников BEF
и DEC
получаем, что EF=\frac{1}{2}CE
, значит,
S_{\triangle BEF}=\frac{1}{2}S_{\triangle BEF}=50,~S_{\triangle BFC}=100+50=150.
Пусть продолжения отрезков CF
и AD
пересекаются в точке P
. Из равенства треугольников AFP
и BFC
находим, что
S_{\triangle AFP}=S_{\triangle BFC}=150,
а из подобия треугольников DEP
и BEC
—
S_{\triangle DEP}=4S_{\triangle BEC}=400.
Следовательно,
S_{AFED}=S_{\triangle DEP}-S_{\triangle AFP}=400-150=250.
Источник: Posamentier A. S., Salkind Ch. T. Challenging Problems in Geometry. — N.Y.: Dover Publication, 2017. — № 5.19, с. 28