10669. Докажите, что отрезки, соединяющие точки касания с вписанной окружностью противоположных сторон описанного четырёхугольника, равны тогда и только тогда, когда четырёхугольник имеет пару равных противолежащих углов.
Решение. Пусть O
— центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD
, а K
, L
, M
и N
— точки её касания со сторонами AB
, BC
, CD
и DA
соответственно.
Достаточность. Пусть \angle B=\angle D
. Тогда
\angle KOL=180^{\circ}-\angle B=180^{\circ}-\angle D=\angle MON.
Значит, дуга KL
, не содержащая точки D
, равна дуге MN
, не содержащей точки B
. Следовательно, равны вписанные углы MKN
и KML
, опирающиеся на эти дуги, поэтому прямые KN
и ML
параллельны, т. е. KLMN
— либо равнобедренная трапеция с основаниями KN
и LM
, либо прямоугольник. В любом из этих случаев диагонали KM
и LN
равны. Что и требовалось доказать.
Необходимость. Пусть KM=LN
. Тогда либо \smile KNM=\smile LKN
, либо \smile KNM=\smile NML
, поэтому либо \angle KOL=\angle MON
, либо \angle KON=LOM
. В первом случае
\angle B=180^{\circ}-\angle KOL=180^{\circ}-\angle MON=\angle D,
а во втором
\angle A=180^{\circ}-\angle KON=180^{\circ}-\angle LOM=\angle C.
Что и требовалось доказать.