10674. В прямоугольник ABCD
вписан равносторонний треугольник APK
так, что вершина K
лежит на стороне BC
, а вершина P
на стороне CD
. Отрезок KH
— высота этого треугольника. Докажите, что треугольник BHC
равносторонний.
Решение. Из точек C
и H
отрезок KP
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром KP
. Вписанные в эту окружность углы KCH
и KPH
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle BCH=\angle KCH=\angle KPH=\angle KPA=60^{\circ}.
Аналогично,
\angle CBH=\angle KBH=\angle KAH=\angle KAB=60^{\circ}.
Следовательно, треугольник BHC
равносторонний.