10693. Даны треугольник ABC
(AB\gt AC
) и описанная около него окружность. Постройте циркулем и линейкой середину дуги BC
(не содержащей вершину A
), проведя не более двух линий.
Решение. Пусть W
— середина дуги BC
, не содержащей вершину A
. Тогда WC=WB
как равные хорды, стягивающие равные дуги. Рассмотрим такую точку M
на стороне AB
, что AM=AC
. Тогда треугольники ACW
и AMW
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
WM=WC=WB,
т. е. треугольник BWM
равнобедренный. Пусть прямая WM
пересекает описанную окружность в точке N
. Используя равенство вписанных углов и равенство углов при основании равнобедренного треугольника, получим, что
\angle ANM=\angle ANW=\angle ABW=\angle BMW=\angle AMN=\angle MAN.
Следовательно, треугольник AMN
также равнобедренный и
AN=AM=AC.
Отсюда вытекает следующий способ построения.
1) Построим окружность с центром A
и радиусом AC
. Пусть она пересекает сторону AB
в точке M
, а описанную окружность — в точке N
.
2) Построим прямую MN
. Точка пересечения этой прямой с описанной окружностью треугольника — искомая.
Действительно, если \angle CNW=\angle CNM=\alpha
, то
\angle CNB=\angle CAB=\angle CAM=2\alpha
(центральный угол CAM
вдвое больше вписанного угла CNM
). Значит, NW
— биссектриса вписанного угла CNB
. Следовательно, W
— середина дуги BC
, не содержащей вершину A
.