10702. Основание D
высоты CD
треугольника ABC
лежит на стороне AB
. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается этой стороны в точке L
. Точки I_{1}
и I_{2}
— центры окружностей, вписанных в треугольники ADC
и BDC
соответственно. Докажите, что:
а) LI_{1}\perp LI_{2}
и LI_{1}=LI_{2}
;
б) вершина P
квадрата LI_{1}PI_{2}
лежит на высоте CD
.
Решение. а) Точки L
, D
, I_{1}
, I_{2}
на окружности с диаметром I_{1}I_{2}
(см. задачу 10602), поэтому \angle I_{1}LI_{2}=90^{\circ}
.
Пусть M
и L
— проекции точек соответственно I_{1}
и I_{2}
на AB
. Тогда ML=DK
(см. задачу 10602). Значит, прямоугольные треугольники LMI_{1}
и I_{2}KL
равны по катету и противолежащему острому углу. Следовательно, LI_{1}=LI_{2}
.
б) Вершина P
квадрата LI_{1}PI_{2}
лежит на окружности с диаметром I_{1}I_{2}
, а так как \angle LI_{2}P=90^{\circ}
, то LP
— также диаметр этой окружности. Тогда \angle PDL=90^{\circ}
, следовательно, точка P
лежит на высоте CD
.
Примечание. См. статью А.Д.Блинкова и Ю.А.Блинкова «Две окружности в треугольнике, три окружности в треугольнике...», Квант, 2012, N2, с.45-49.