10711. Через точку A
пересечения двух окружностей проведены две прямые, одна из которых пересекает первую окружность в точке B
, вторую — в точке C
, а вторая прямая пересекает первую окружность в точке D
, вторую — в точке E
. Прямые BD
и CE
пересекаются в точке M
. Докажите, что угол между прямыми BD
и CE
не зависит от выбора исходных прямых.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Пусть \omega_{1}
— окружность, проходящая через точки A
, B
и D
, а \omega_{2}
— окружность, проходящая через точки A
, C
и E
. Через точку A
проведём касательные к этим окружностям. Пусть касательная к \omega_{2}
вторично пересекает \omega_{1}
в точке L
, прямую ME
— в точке точке K
, а касательная к \omega_{1}
вторично пересекает \omega_{2}
в точке P
.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle BAL=\angle KAC=\angle AEC,~\angle BAP=\angle ADB.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BME=\angle DME=\angle BDE-\angle DEM=
=\angle ADB-\angle AEC=\angle BAP-\angle BAL=\angle PAL.
Но угол PAL
не зависит от выбора исходных прямых. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Кушнир И. А. Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — с. 266