1072. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
. На его противоположных сторонах AB
и CD
берут точки P
и Q
. Найдите геометрическое место середин отрезков PQ
.
Ответ. Параллелограмм.
Решение. Зафиксируем на стороне AB
точку P
. Геометрическое место середин отрезков PQ
— средняя линия треугольника PCD
, параллельная CD
и равная половине CD
. Если точка P
совпадает с вершиной A
, получим среднюю линию треугольника ACD
, а если с вершиной B
— среднюю линию треугольника BCD
. Если точка P
движется по стороне AB
, то середина отрезка PC
движется по средней линии треугольника ABC
, а середина PD
— по средней линии треугольника ABD
. Значит, середины всех отрезков PQ
лежат внутри или на сторонах параллелограмма, вершины которого — середины отрезков BC
, BD
, AD
и AC
.
Докажем теперь, что каждая точка, лежащая внутри этого параллелограмма или на его стороне, есть середина какого-нибудь отрезка PQ
с концами на сторонах AB
и CD
.
Пусть точка K
и M
— середины сторон BC
и AD
соответственно, L
и N
— середины диагоналей соответственно BD
и AC
, а T
— произвольная точка, лежащая внутри параллелограмма KLMN
.
Через точку T
проведём прямую, параллельную CD
. Пусть эта прямая пересекает противоположные стороны KN
и LM
параллелограмма KLMN
в точках X
и Y
соответственно. Тогда XY=KL=\frac{1}{2}CD
, точка X
лежит на средней линии KN
треугольника ABC
, а точка Y
— на средней линии LM
треугольника ABD
.
Пусть продолжение отрезка CX
пересекает сторону AB
в точке P
. Тогда X
— середина CP
, а так как XY=\frac{1}{2}CD
и XY\parallel CD
, то Y
— середина PD
. Точка T
лежит на средней линии XY
треугольника CPD
, поэтому, если продолжение отрезка PT
пересекает сторону CD
в точке Q
, то T
— середина PQ
. Что и требовалось доказать.
Если точка T
лежит на стороне параллелограмма, утверждение очевидно.
Источник: Вышенский В. А. и др. Сборник задач киевских математических олимпиад. — Киев: Вища школа, 1984. — № 750, с. 66
Источник: Шень А. Х. Геометрия в задачах. — М.: МЦНМО, 2013. — № 326, с. 94