10720. На продолжении биссектрисы CF
треугольника ABC
за точку C
отметили точку D
так, что \angle ADB=\frac{1}{2}\angle ACB
. Докажите, что CD^{2}=AC\cdot BC
.
Решение. Обозначим
\angle ADB=\angle ACF=\angle BCF=\alpha,~\angle CAD=\beta.
Тогда
\angle ADC=\alpha-\beta,~\angle BDC=\alpha-(\alpha-\beta)=\beta,
Значит, треугольники ACD
и DCB
подобны по двум углам. Следовательно, \frac{CD}{BC}=\frac{AC}{CD}
, или CD^{2}=AC\cdot BC
.
Источник: Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон». — 2003, XII, письменный индивидуальный тур, задача 2
Источник: Журнал «Квант». — 2004, № 3, с. 49, задача 2
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 8 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 15.38, с. 118
Источник: Журнал «Математика в школе». — 2012, № 10, с. 71, задача 5253