10733. Для сторон треугольника ABC
выполняется равенство BC^{2}=AC^{2}+AC\cdot AB
. Докажите, что \angle A=2\angle B
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, \angle BAC=\alpha
. Тогда
a^{2}=b^{2}+bc=b(b+c)~\Rightarrow~\frac{a}{b}=\frac{b+c}{a}.
На продолжении стороны AC
за точку A
отложим отрезок AD=c
. Треугольники ABC
и BDC
подобны по двум сторонам и углу между ними, так как \frac{a}{b}=\frac{b+c}{a}
, а угол при вершине C
— общий. Значит, \angle CBD=\angle BAC=\alpha
, а так как
\angle ACD=\angle ADC=\frac{\alpha}{2}
(по теореме о внешнем угле треугольника), то
\angle ABC=\angle CBD-\angle ABD=\alpha-\frac{\alpha}{2}=\frac{\alpha}{2},
т. е. \angle BAC=2\angle ABC
.