10735. В выпуклом пятиугольнике ABCDE
известно, что \angle ABC=\angle CDE=90^{\circ}
, BC=CD=AE=1
, AB+DE=1
. Найдите площадь пятиугольника ABCDE
.
Ответ. 1.
Решение. Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины D
на прямую AE
. Обозначим AB=x
, AH=t
. Тогда DE=1-x
, EH=1-t
. По теореме Пифагора
CH^{2}=AC^{2}-AH^{2}=CE^{2}-EH^{2}~\Rightarrow~
~\Rightarrow~(1+x^{2})-t^{2}=1+(1-x^{2})-(1-t^{2})~\Rightarrow~t=x.
Значит, прямоугольный треугольник AHC
равен прямоугольному треугольнику ABC
по катету и гипотенузе, поэтому CH=BC=1
. Аналогично, равны прямоугольные треугольники EHC
и EDC
. Следовательно,
S_{ABCDE}=2S_{\triangle ACE}=2\cdot\frac{1}{2}AE\cdot CH=AE\cdot CH=1.