10739. В треугольник ABC
вписана окружность радиуса r
. Через центр этой окружности проведена прямая, пересекающая стороны AB
и BC
в точках M
и N
соответственно. Докажите, что S_{\triangle MBN}\geqslant2r^{2}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, K
и L
— точки её касания со сторонами AB
и BC
соответственно. Тогда
S_{\triangle MBN}=S_{\triangle BOM}+S_{\triangle BON}=\frac{1}{2}BM\cdot OK+\frac{1}{2}BN\cdot OL=
=\frac{1}{2}r(BM+BN)\geqslant r\cdot\sqrt{BM\cdot BN}\geqslant r\sqrt{2S_{\triangle MBN}},
так как
S_{\triangle MBN}=\frac{1}{2}BM\cdot BN\sin\angle ABC\leqslant\frac{1}{2}BM\cdot BN.
После возведения в квадрат обеих частей неравенства S_{\triangle MBN}\geqslant r\sqrt{2S_{\triangle MBN}}
получим, что S^{2}_{\triangle MBN}\geqslant r^{2}\cdot2S_{\triangle MBN}
. Следовательно, S_{\triangle MBN}\geqslant2r^{2}
.