10746. Прямая l
— касательная к данной окружности \Gamma
, проведённая в данной на ней точке B
. Точка P
— проекция на прямую l
произвольной точки A
, лежащей на окружности \Gamma
, а M
— точка, симметричная P
относительно прямой AB
. Найдите геометрическое место точек M
.
Ответ. Окружность с диаметром OB
(без точек O
и B
), где O
— центр окружности \Gamma
.
Решение. Пусть O
— центр окружности \Gamma
. Из равнобедренного треугольника AOB
получаем
\angle BAO=\angle ABO=\angle PAB=\angle BAM,
поэтому точки A
, O
и M
лежат на одной прямой, а так как из симметрии
\angle OMB=\angle AMB=90^{\circ},
то точка M
лежит на окружности с диаметром AB
.
Обратно, если N
— произвольная точка окружности с диаметром AB
, отличная от B
и O
, то \angle BNO=90^{\circ}
. Пусть A'
— точка пересечения прямой ON
с окружностью \Gamma
, а P'
— проекция A'
на прямую l
. Тогда
\angle BNA'=\angle BNO=90^{\circ},
\angle BA'M=\angle BA'O=\angle A'BO=\angle BA'P'.
Кроме того, A'N=A'P'
, так как прямоугольные треугольники A'BP'
и A'BN
равны по гипотенузе и острому углу. Значит, точка N
симметрична P'
относительно прямой A'B
.
Следовательно, искомое ГМТ — окружность с диаметром OB
(без точек B
и O
).
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1987, № 10, задача 33 (1985, с. 71), с. 315