10748. На стороне AB
и диагонали AC
квадрата ABCD
отметили соответственно точки P
и Q
так, что AP:PB=3:2
, AQ:QC=4:1
. Найдите углы треугольника PQD
.
Ответ. 45^{\circ}
, 90{\circ}
, 45^{\circ}
.
Решение. Разделим соседние стороны квадрата на пять равных частей и через точки деления проведём прямые, параллельные сторонам квадрата. При этом квадрат разобьётся на 25 квадратов. Точки P
и Q
— вершины двух из них. Пусть прямая, проходящая через точку Q
параллельно AD
пересекает стороны CD
и AB
в точках M
и N
соответственно. Прямоугольные треугольники DMQ
и QNP
равны по двум катетам, поэтому DQ=PQ
и \angle DQM=\angle QPN
. Значит,
\angle DQM+\angle PQN=\angle DQM+(90^{\circ}-\angle QPN)=90^{\circ}.
Тогда
\angle DQP=180^{\circ}-\angle DQM-\angle PQN=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.
Следовательно, PQD
— равнобедренный прямоугольный треугольник.