10749. Дан параллелограмм ABCD
. Биссектрисы углов BAC
и BDC
пересекаются в точке M
, причём \angle AMD=45^{\circ}
. Докажите, что четырёхугольник ABCD
— ромб.
Решение. Пусть прямая, проведённая через вершину B
параллельно биссектрисе DM
, пересекает сторону AD
в точке K
, а диагональ AC
— в точке L
. Тогда \angle DBK=\angle BDM
, а так как \angle ABD=\angle CDB
, то \angle ABK=\angle CDM
. Значит, BL
— биссектриса угла ABD
.
Пусть O
— центр параллелограмма ABCD
, N
— точка пересечения биссектрисы AM
с отрезком OB
, P
— точка пересечения AM
и BK
. Тогда BL
и AN
— биссектрисы треугольника ABO
, а P
— точка пересечения его биссектрис. При этом из параллельности BK
и DM
следует, что \angle APL=\angle AMD=45^{\circ}
. Значит, \angle APB=135^{\circ}
, а так как
\angle APB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle AOB
(см. задачу 4770), то
\angle AOB=2\angle APB-180^{\circ}=270^{\circ}-180^{\circ}=90^{\circ},
т. е. диагонали параллелограмма ABCD
перпендикулярны. Следовательно, это ромб.