10752. На сторонах AB
и AD
параллелограмма ABCD
отметили соответственно точки E
и F
так, что \frac{AE}{AB}=\frac{2}{3}
и AF=FD
. В каком отношении диагональ AC
делится точкой её пересечения с прямой EF
?
Ответ. \frac{2}{5}
.
Решение. Первый способ. Положим AF=FD=2a
. Пусть прямые EF
и BC
пересекаются в точке G
. Треугольник BEG
подобен треугольнику AEF
с коэффициентом \frac{BE}{AE}=\frac{1}{2}
, поэтому
BG=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}\cdot2a=a,~CG=BG+BC=a+4a=5a.
Пусть прямые AC
и EF
пересекаются в точке M
. Треугольник AMF
подобен треугольнику CMG
с коэффициентом \frac{AF}{CG}=\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}
, следовательно, \frac{AM}{MC}=\frac{2}{5}
.
Второй способ. Пусть прямые EF
и BC
пересекаются в точке G
, а прямые AC
и EF
— в точке M
. Треугольник BEG
подобен треугольнику AEF
с коэффициентом \frac{BE}{AE}=\frac{1}{2}
, поэтому
BG=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{4}AD=\frac{1}{4}BC,~CG=BG+BC=\frac{1}{4}BC+BC=\frac{5}{4}BC.
По теореме Менелая для треугольника ABC
и прямой MG
\frac{AM}{MC}\cdot\frac{CG}{BG}\cdot\frac{BE}{BA}=1,~\mbox{или}~\frac{AM}{MC}\cdot\frac{5}{1}\cdot\frac{1}{2}=1,
откуда \frac{AM}{MC}=\frac{2}{5}
.
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 8 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 16.11, с. 125