10760. Дан параллелограмм ABCD
. Известно, что \angle ABD=3\angle DBC
и BC=2AB
. Найдите углы параллелограмма.
Ответ. 60^{\circ}
, 120^{\circ}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон BC
и AD
соответственно. Поскольку AN=BM
как половины равных сторон AD
и BC
, а также AN\parallel BM
, то четырёхугольник ABMN
— параллелограмм, а так как BM=\frac{1}{2}BC=AB
, это ромб. Аналогично, DCMN
— ромб. Тогда
BN=MD=DN=AN=AB.
Значит, треугольник ABN
равносторонний. Следовательно,
\angle BAD=\angle BAN=60^{\circ},~\angle ABC=120^{\circ}.
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 8 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 5.52, с. 39