10762. Отрезок MN
, соединяющий середины диагоналей AC
и BD
выпуклого четырёхугольника ABCD
(AD\gt BC
), равен полуразности сторон AD
и BC
. Докажите, что этот четырёхугольник — трапеция или параллелограмм.
Указание. Соедините точки M
и N
с серединой стороны CD
.
Решение. Пусть M
и N
— середины диагоналей AB
и CD
соответственно и MN=\frac{AD-BC}{2}
. Отметим середину K
стороны CD
. Тогда NK
и MK
— средние линии треугольников BCD
и ACD
, поэтому
NK=\frac{1}{2}BC,~NK\parallel BC,~MK=\frac{1}{2}AD,~MK\parallel AD,~
MN=\frac{2MK-2NK}{2}=MK-NK,~MN+NK=MN.
Значит, точки M
, N
и K
лежат на одной прямой, причём эта прямая параллельна и BC
и AD
. Следовательно, BC\parallel AD
.