1077. Точка A
расположена на одной стороне данного угла, а точка B
— на другой. Найдите геометрическое место середин отрезков AB
.
Ответ. Множество всех внутренних точек угла.
Решение. Ясно что середина любого отрезка AB
расположена внутри угла. Докажем, что для любой внутренней точки угла найдётся отрезок с концами на сторонах угла, для которого это точка — середина.
Пусть O
— вершина данного угла, M
— произвольная внутренняя точка угла. На продолжении отрезка OM
за точку M
отложим отрезок MK
, равный OM
, и через точку K
проведём прямую, параллельную одной из сторон угла. Пусть эта прямая пересекает вторую сторону угла в точке A
, а прямая AM
пересекает первую сторону в точке B
. Тогда треугольники AMK
и BMO
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, AM=BM
. Следовательно, M
— середина отрезка AB
. Что и требовалось доказать.