10792. На сторонах AB
и CD
параллелограмма ABCD
отметили соответственно точки K
и M
так, что AK:KB=3:4
и DM:MC=5:3
. Найдите отношение площадей четырёхугольников, на которые отрезок KM
разбивает данный параллелограмм.
Ответ. 59:53
.
Решение. Положим AK=3x
, KB=4x
, DM=5y
, MC=3y
. Из равенства противоположных сторон параллелограмма получим, что 7x=8y
, откуда y=\frac{7}{8}x
.
Высоты трапеций AKMD
и BKMC
равны (они равны высоте параллелограмма), поэтому отношение площадей этих трапеций равно отношению их средних линий, т. е.
\frac{S_{AKMD}}{S_{BKMC}}=\frac{\frac{3x+5y}{2}}{\frac{4x+3y}{2}}=\frac{3x+5y}{4x+3y}=\frac{3x+5\cdot\frac{7}{8}x}{4x+3\cdot\frac{7}{8}x}=\frac{59}{53}.
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 8 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 26.18, с. 189