10798. Серединный перпендикуляр к диагонали AC
прямоугольника ABCD
пересекает сторону BC
в точке M
, причём BM:MC=1:2
. Найдите углы, на которые диагональ прямоугольника делит его угол.
Ответ. 30^{\circ}
и 60^{\circ}
.
Решение. Пусть O
— центр прямоугольника, а прямая OM
пересекает сторону AD
в точке N
. Четырёхугольник AMCN
— параллелограмм, так как его диагонали AC
и MN
делятся точкой O
пересечения пополам. Кроме того, эти диагонали перпендикулярны, значит, это ромб.
Положим BM=a
, CM=2a
. Тогда
AM=CM=2a=2BM.
Гипотенуза AM
прямоугольного треугольника ABM
вдвое больше катета BM
, значит, \angle BAM=30^{\circ}
. Диагональ ромба делит его угол пополам, следовательно,
\angle DAC=\frac{1}{2}MAN=\frac{1}{2}(90^{\circ}-30^{\circ})=30^{\circ},~\angle BAC=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}.