10800. Сторона AD
прямоугольника ABCD
вдвое больше стороны AB
. Точка M
лежит на стороне BC
, причём \angle AMB=\angle AMD
. Найдите эти углы.
Ответ. 75^{\circ}
.
Решение. Проведём высоту AH
треугольника AMD
. Прямоугольные треугольники AHM
и ABM
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому
AH=AB=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD.
В прямоугольном треугольнике AHD
катет AH
вдвое меньше гипотенузы AD
, значит, \angle ADM=\angle ADH=30^{\circ}
.
Поскольку
\angle MAD=\angle AMB=\angle AMD,
треугольник AMD
равнобедренный. Следовательно,
\angle AMB=\angle AMD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ADM)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-30^{\circ})=75^{\circ}.
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 8 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 5.41, с. 38