10801. На сторонах параллелограмма ABCD
во внешнюю сторону построены квадраты APQB
и BMNC
. Докажите, что отрезки DP
и DN
равны и перпендикулярны.
Решение. Если ABCD
— квадрат, утверждение очевидно. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (\angle BAD\lt90^{\circ}
).
Обозначим \angle BCD=\angle BAD=\alpha
. Тогда
\angle DCN=90^{\circ}+\alpha=\angle PAD.
Кроме того
CD=AB=AP~\mbox{и}~CN=BC=AD,
поэтому треугольники DCN
и PAD
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, DN=DP
.
Из равенства треугольников DCN
и PAD
также получаем, что
\angle CDN+\angle ADP=\angle CDN+\angle CND=
=180^{\circ}-\angle DCN=180^{\circ}-(90^{\circ}+\alpha)=90^{\circ}-\alpha.
Следовательно,
\angle NDP=\angle ADC-(\angle CDN+\angle ADP)=
=(180^{\circ}-\alpha)-\left(90^{\circ}-\alpha\right)=90^{\circ}.
Аналогично для случая, когда \angle BAD\gt90^{\circ}
.