10806. В остроугольном треугольнике ABC
вершины B
, C
, ортоцентр H
и центр O
описанной окружности лежат на одной окружности. Найдите угол BAC
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Поскольку треугольник ABC
остроугольный, центр O
описанной окружности лежит внутри него. Значит, вписанный угол BAC
равен половине центрального угла BOC
, не содержащего точки A
.
Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда \angle BOC=2\alpha
. Пусть BB_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника ABC
. Сумма двух противоположных углов четырёхугольника AB_{1}HC_{1}
равна 180^{\circ}
, а точки B
, C
, H
и O
лежат на одной окружности, поэтому
2\alpha=\angle BOC=\angle BHC=\angle B_{1}HC_{1}=\angle180^{\circ}-\alpha.
Из уравнения 2\alpha=180^{\circ}-\alpha
находим, что \angle BAC=\alpha=60^{\circ}
.
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 8 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 8.52, с. 64