10807. Окружность, построенная на стороне параллелограмма как на диаметре, проходит через середину соседней стороны и точку пересечения диагоналей. Найдите углы параллелограмма.
Ответ. 60^{\circ}
, 120^{\circ}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности радиуса R
, построенной на стороне AD
параллелограмма ABCD
и проходящей через середину M
стороны AB
и центр Q
параллелограмма. Тогда AD=2R
.
По теореме о средней линии треугольника MQ=\frac{1}{2}AD=R
, а так как OM=OQ=R
, то треугольник MOQ
равносторонний. Стороны треугольника ABD
соответственно параллельны сторонам этого треугольника, значит, треугольник ABD
также равносторонний. Следовательно,
\angle BCD=\angle BAD=60^{\circ},~\angle ADC=\angle ABC=120^{\circ}.
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 8 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 8.27, с. 62